会社の方針によって対応はまちまちだと思いますよ。

手書き伝票で一旦上司の決裁を仰いでからしかソフトに入力できない会社もありますし、手書き伝票なしで入力して終わりという会社もありますが、いずれも現金出納帳はプリントアウトしていると思います。

現金出納帳は法律で一定の期間、原則「紙」による保存が義務付けられてるので、プリントアウトできないのは問題があるかと思います。

紙の帳簿で保存せず、サーバ・DVD・CD等に記録した電磁的記録（電子データ）のままで保存する場合は、管轄税務署へ申請書を提出し、承認を受けることが必要です。

国税庁：帳簿書類等の保存期間及び保存方法
http://www.nta.go.jp/taxanswer/hojin/5930.htm