maomaoさん、こんばんは。
遅くなり申し訳ありません。

>通院している病院のほうから、今の会社の社会保険証を持ってきてもらえばそれでいいと言われたそうです。
→これはできません。社会保険事務所に「健康保険資格喪失届」を提出する際、保険証の返却も行わないといけないからです。
※紛失した場合でも「滅失届」を提出する必要があります。

勤務先は入社があれば、原則5日以内に「加入手続き」を行うことになっていますので、本人から病院へその旨を伝え保険証が届き次第、全額負担と3割負担の差額を還付してもらう手続きをしてもらえばよいと思います。

キツイ話ですが、退職してしまうと保険医療資格を喪失してしまいますから、それ以降は個人の問題…と割り切ったほうがいいと思います。