通院中であれば保険証の提出は月初だけと思います。
医療事務の経験はないので病院がどう処理するのかは分かりませんが、事業主が変わるだけで被保険者に変わりないので後で分かればいいのかもしれませんね。

私も新しい職場で「健康保険被保険者資格証明書」を申請してもらう方が良いと思います。
maomaoさんの会社としては、できれば退職日に、遅くとも8月中には回収して喪失届と一緒に提出するべきと思います。
「保険証も一緒に提出しないといけないので困ります」なら納得してもえるかもですね。