junjun0216さん、こんにちは。

>タイムレコーダはありますし、メモリカードでＰＣでの計算も可能の機械のようですが出張や外出も多く、前任者は「使うほうが面倒くさい」とのことで使っていなかったようです。
→これは、会社規模にもよると思います。
所属人員が多かったり、税務や経営分析の観点で他システムとリンクしているのであれば、活用の有効性はあるでしょう。
（ちなみに私も手計算の方が早かったりします :-D ）

＞遅刻した人は、残業時間からその時間を引いています。
ここからは法律に則ってお話します。
労動基準法第32条に労働時間＝1日8時間と定められており、第37条に労働時間を延長した場合において割増賃金の規程があります。

残業＝残業手当がつく時間と考えますね。
以上から、8時間以上労働しないと残業手当の対象とならないということになります。

例）就業規則での勤務時間＝9時〜18時（休憩12時〜13時）
遅刻して13時から出社。
20時まで勤務。
→この場合、就業規則内では5時間就労し、かつ2時間の就労延長したこととなります。よって、
　5時間+2時間＝7時間
となり、就労延長による残業手当支給は行えないこととなります。

また同37条には休日労働や深夜労働（22時〜翌5時）までに関しても取り決めがあります。
御社にある就業規則も同法を前提に作成されていると思います。
一度、読み返してみるのも一考だと思います。