> 調べたら就職して最初の給与支給日までに扶養異動の手続き等をする、とあったのですが、今週末二人とも病院に行く予定があります(−−;異動の手続きをしたら、保険証が手元にない時期が出てしまいますよね?

所得税の扶養届のことではないでしょうか。
社会保険は入社の5日以内に手続きすることになっていますので、その時に一緒に被扶養者の届けも出すここが多いのではと思います。

> この場合、どうするべきなのでしょうか?
> また、もし今、私の健康保険証で受診した場合、
> どうなるのでしょうか?

当社では健康保険・厚生年金保険資格取得手続証明書を出してあげています。
取り扱いは医療機関によって異なります。

例えば、4月28日にyujunさんからご主人へ扶養の変更をされるのでしたら、それまではyujunさんの被扶養者として保険証を使うのは全く問題ないはずです。