労働者が3歳未満の子を養育している場合は、
会社には一定の措置を講ずる義務があり、
講ずべき措置の選択肢の一つとして
短時間勤務制度があります。
また、3歳から小学校就学前の子を養育する労働者に
ついても、これに準じた措置を講じることが
努力義務とされています。
が、小学校に進んだあとの子の養育に関しては
現行の育児・介護休業法は真空状態なので、
会社にはお書きの事情に配慮する特別法上の義務は
無いと言わざるを得ません。
http://www.mhlw.go.jp/general/seido/koyou/ryouritu/aramashi.html

では、会社はそのような申出に対して何が許されるか、
というと私ではちょっと読めないです。
（「だから解雇」というのは安易、認めません、
という姿勢も予想される一方で、
「定められた時間労務を提供する」という
契約内容の根本的な部分が守られないことを
甘受せよ、というのも厳しいという気もします。
判例とかがあるのかもしれませんが、
探せてはいません）

何にせよ、解雇が有効だとしても
就業できなくなる来年からで、
「来週から」とかいうのはまず認められないでしょう。


退職の意思を伝えてから、完全に労務提供の義務が
なくなるまでの長さは、契約形態によります。
期限の定めがなく月給制という正社員によくある
形態だと、計算期間の前半中の届出なら
その計算期間の終わりまで、後半の届出なら
次の計算期間の終わりまで、ということになるかと思います。
（給与が末締めなら、15日までの届出なら当月末、
16日以降の届出なら翌月末、という具合で、
最長約一ヶ月半。但し就業規則でより短い期間を
定めている場合はそちらが優先されます）
こんな厳密な権利義務の話は実務としては
大して広まっていない気もしますが、
法律上つけこまれる要素を極力なくしたければ、
ここまで義務があると思っておく方が無難かと思います。