会社から、その社員の住所地の市役所へ異動届出書を提出するはずですから、それによって市町村は、退職している事は把握する訳ですから、普通徴収として、ご本人のご自宅へ納付書が送られる事となります。

もしも、入れ違いで、会社に通知書が届いた場合には、その旨を市役所に伝えられるだけで良い事となります。

ご本人の6月以降の分ですが、ご本人が希望すれば、新たに就職した会社を通じて市町村へ手続きされれば、特別徴収への切り替えは可能となりますし、何もしなければ、そのまま普通徴収で納付すれば良いだけの事となります。