現金を持っていってコンビニATMから振り込み、
というのはどこもやっていないのではないかと思います。
セブン銀行
http://faq.sevenbank.co.jp/EokpControl?lang=ja&site=default&event=ZE0002&tid=10037
ローソンATM
http://www.lawson.co.jp/go_lawson/service/counter/bank.html#4
ファミマほか（イーネット）
http://www.enetcom.co.jp/s_contents/faq/a_service.html#06

現金（紙幣）とカードを持っていってコンビニATMから
そのカードの口座に入金、という形式は
ATM会社や提携銀行によりできたりできなかったりです。
大きい銀行なら、大抵のコンビニのATMで可能でしょう。
でもこれだと法人名義の口座にカードを作って、
そのカードを集金担当者に持っていてもらわないといけません。
カードが一枚なら利用できる集金担当者は一人だけです。
（通帳はコンビニATMでは使えませんし・・・）

コンビニATMは確かどこも硬貨の入金を受け付けないので、
集金するお金が切りのいい金額でない場合は
消し込みがややこしくなりそうです。