私も社会保険に携わって２年程度と、知識や経験も豊富とは言えませんので、推測程度のことしか言えませんが、それでもよろしければご参考までに。

通常年金、健康保険は社員を5名以上常時雇用している会社は、経営者や社員の意思にかかわり無く強制的に加入しなければならないし、労働保険は従業員を雇うすべての会社が加入と社会保険のてびきに記載されています。

ただ、現状としては加入すると会社負担分として費用が発生してしまいますので、小さな会社ですとなかなか全ての会社に浸透しては居ない印象はありますね。入社したばかりの社員の立場からだと、なかなか上の方にも言いにくいと思いますので、やはり社会保険事務所やハローワークに加入を要請して貰った方が良いのではないでしょうか？

年金や健康保険は個人で（国民年金、国民健康保険）加入することもできますが、労働保険（労災・雇用保険）は会社で加入していないと万が一業務中に怪我をするなどということがあっても保障されませんし（労災保険）失業しても失業手当の給付を受けることが出来ないのでは（雇用保険）と思います。

税金に対しても、税額ゼロとは言いましても、源泉徴収票がなければ確定申告は出来ないのではないでしょうか…？給与明細で代用出来るんでしょうか？（すみません、確定申告の経験がないもので…）
源泉徴収票は税額があってもなくても、所得を証明するものとして必ず発行しなければならないもののはずです。

正しい所得で確定申告を行わないと、万が一税務署に調査された場合、通常払うべき金額よりも罰則として大きい税額で請求されるかもしれませんので、せめて確定申告は正しく出来るよう、源泉徴収票の発行を掛け合われた方が良いと思います。
１２月から入社ということですので、今回影響があるのは１ヶ月分ですが、今年一年も同じ調子ですと、ご本人もいろいろとつらいのではないでしょうか・・