＞ですが、それは従業員が言ってきてくれないとこちらでは分からないことで、会社としてはどうすればいいのかと思って

これについては、直接社員さんに確認してよいのではないでしょうか?
出産手当をもらえることを知らないかもしれないですし(私みたいに :cry: ）

会社としての対応なので、「社会保険手続き上、出産したら記入してもらうので」ということで、出産一時金の手続きの際に「出産手当受給あり・なし」「ありの場合：日額3,611円未満・以上」等のチェック欄を用意した用紙などを渡して、申告できるようにしたらいかがでしょう？

これで、もし「なし」とか「3,611円未満」に○つけられているのであれば、もし、そうでなく何か問題があった場合にも、こちらの責はないかと（＾＾；

(素人考えでごめんなさい）

＞国保に加入するのは、役所で手続きするのだと
＞思いますが、奥様が手続きに行った場合、
＞会社の健康保険をでる手続きをしていなくても
＞できるのでしょうか？

まず、保険証を回収し、「健康保健扶養者(異動)届け」を社会保険庁(もしくは委託されている社労士)に提出します。

「健康保健扶養者(異動)届け｣は3枚複写で後日、2枚目が社会保険庁から｢確認印」を押されて戻りますので、そのコピーを社員さんに渡してください。

そのコピーを持って、奥様に役所にて国保の手続きをされるようお知らせしてあげればOKです。

同時進行でも、構わないらしいのですが、国保の加入日の決定に「いつ付けで社会保険の扶養から外れたのか」ということで、そのコピーがあるとスムーズにことが運ぶようです。

保険証のない時間が発生しますが、
その間に診察等した場合は、実費立替で、後日国保の方へ請求する形になるかと思います。

ご参考になりますでしょうか･･･