まず、虚偽の申告をしたという「役所」とは、どこに対してなのでしょうか？
ＪＨなどの立ち会い検査時に社名の入った作業服を着せて、
「うちの社員です」
と言った程度なのでしょうか？
それなら特に問題はないと思いますが。

>陰に埋もれた雇用契約
私の知る限り、周囲の同業や下請けにはありませんでした。
他社の方ならば出向契約書をその会社と交わしていましたし、そうでないなら雇用契約書を作成して取り決めもキチンとしていました。
下請さんの場合も大きな金額ならば注文書も発行していました。

>お互いの合意
これに関しては、私の皮肉です。
済みません。
取引した結果、虚偽の申告をしたりする羽目になりあちこちから何か言われて色んな不利益は受けるけれど、取引すること自体は可能ですよね。

>雇用契約を結んで労務管理
今まで通りの下請負契約でいいのでは、と思います。
雇用契約を結ぶ以上は、相手の今後にもある程度の責任が出ますから。
ただ、どこの役所に対してかは知りませんが、虚偽の申告は控えた方がよいと思います。
極論してしまえば、下請さんがそこの職人と雇用契約を交わしていようがいまいが、それは他人の事情です。
下請さんが仕事をキチンとしてくれて、その請求に対してGENCHANさんの会社が対価を滞りなく支払っているのなら、GENCHANさんの会社に落ち度はないと思いますから。