rikaさん、おはようございます。

標題のケースでは社会保険手続きは必要ないと
考えます。

それ以前に社員として会社との誓約書等を
交わすと思うのですが、一般的な会社の場合、
「退職する場合は退職希望日の**日前までに
所属長に申し出ること」
云々の文書が必ず記載されている(もしくは社内規定
として存在する)と思います。

問題の人物については入社の意思を示しながら
ド短期での退職であり、どちらかといえばその
人物に責任があると考えざるを得ません。
…とすれば給与は別にしても懲戒的とみなすべきだと
考えます。

また、雇用保険の再就職手当金支給についても
規約要件を満たしていないので、本人へ返却すれば
よいと考えます。

文書のみでは断定的なことはいえませんが、このような
ケースでは個人の身勝手さが感じられます。
「組織社会はそんなに甘いものではない」
ということを態度で示すべきだと思います。