特別徴収に切り替える訳ですので、特別徴収義務者である会社が手続きを行うべき事となります。
市によっては、ＨＰ上で申請書の様式をダウンロードできる所もありますし、いずれにしても、市役所にお尋ねになられたら良いと思います。
おそらく、従業員宛に送られてきている普通徴収の納税通知書等も必要になるかと思います。

ただ、第１期の納期限は今月末までですので、おそらくタイミング的に間に合わないのでは、と思いますので、その分だけは従業員の方に納付書で納付してもらって、７月（もしくは８月）以降について、第２期〜第４期分について、天引きにより月数で分割して徴収できる事になるものと思います。
（その辺のところは、市役所の方で、指示してもらえるものと思います。）