tsubasa さん、こんにちは。
相手方が請求書なしに支払決裁ができる場合であっても、こちらのシステムとして請求書を発行して問題ないと思います。
請求書に「すでにご入金いただいおります。ありがとうございます。」などと記載しておけばいいでしょう。

内装工事の工事期間が、ほかの工事に比べて短いのは存じておりますが、一般に、工事業では「収益の確定＝工事の完成」までの期間がほかの業種に比べて長くなります。
このため「工事完成基準」による収益の計上が行われるのが一般的です。この考え方によると、
契約時　現金預金／未成工事受入金 200 万円
完成時　完成工事未収入金 300 万円／完成工事高 500 万円
　　　　未成工事受入金　 200 万円／
という仕訳になります。