genkiさん、こんにちは☆

当社では現預金以外は起票しています。
現金は現金出納帳、預金は預金台帳&通帳があれば
その残高を照合するだけで済むからです。
まあ現金取引が少ないから出来るのかもしれませんが。

最初から全部伝票レスにするのはちょっと難しいし
逆に手間がかかるかと思います。
nijigumiさんも書かれているように、未払費用関係は
特に忘れがちなので、たとえば今現在現金出納帳の管理は
大丈夫だというのであれば現金だけ、次に預金関係、と
段階を作って、少しずつされてみてはいかがでしょうか。