回答がつかないようなので。。。

＞相手先の振込先口座の正確な名前が分からない取引先様がいます。
これはお客様へ確認するのみでしょうね。

＞手数料が相手持ちの場合、向こうの負担が増えてしまうので、
＞これはどうやって相手に伝えればよいのか、悩んでいます。
無理に伝えなくとも良いと思います。
銀行での手数料の変更があれば金額も変わりますし、
銀行を変更したなど、その他の原因によっても金額かわりますから。

なお、弊社では振手金額の変更や振込手続きの変更について、
連絡を受け取ったことは20年以上ありません。